Indhold

• Trin
• Tips
• Advarsler

Før regnemaskinen ankom, måtte både studerende og lærere beregne kvadratrødder i hånden. Flere metoder har udviklet sig til bedre at håndtere denne skræmmende proces, nogle bringer tilnærmelser og andre en mere nøjagtig værdi. Hvis du vil lære at beregne en kvadratrod manuelt ved hjælp af enkle operationer, skal du læse Trin 1 at begynde.

Trin

Metode 1 af 2: Brug af primfaktorisering

1. 

   Del antallet med perfekte kvadratfaktorer. Denne metode bruger faktorens tal til at beregne en kvadratrod (afhængigt af værdien kan det være et nøjagtigt eller estimeret svar). Du faktorer af et tal er ethvert sæt andre, der formere sig for at opnå det. Du kan for eksempel sige, hvad faktorerne er, og hvorfor. Perfekte kvadrater er derimod hele tal, der skyldes multiplikationen mellem andre heltal. Værdier og er for eksempel perfekte firkanter, fordi de kan repræsenteres af henholdsvis og. De perfekte kvadratfaktorer, som du måske forestiller dig, er også perfekte firkanter. For at begynde at finde kvadratroden gennem primærfaktorisering skal du reducere værdierne til dine perfekte kvadratfaktorer.
   • I et eksempel bliver du nødt til at beregne kvadratroden af ​​hånden. For at starte, skal du bare dele værdien i dine perfekte kvadratfaktorer. Da det er et multiplum af, vides det stadig, at det kan deles med - en perfekt firkant. En hurtig mental opdeling får dig til at se, at det passer til tider i antallet, hvilket tilfældigvis også er et perfekt firkant. Derfor vil de perfekte kvadratfaktorer være og hvorfor.
   • Den første fase af øvelsen skrives som:

2. 

   
   
   Beregn kvadratrødderne for de perfekte kvadratfaktorer. Ejendommen til kvadratrodproduktet angiver, at for alle værdier og data ,. På grund af dette er det nu muligt at udtrække faktorernes kvadratrødder og multiplicere dem for at nå frem til svaret.
   • I det pågældende eksempel ekstraheres kvadratrødderne til og som følger:

3. 

   
   
   Reducer den resulterende værdi til de enkleste vilkår, hvis det ikke er muligt at faktorere den perfekt. I praksis er det usandsynligt, at tallene er perfekte og nøjagtige med faktorer, der også er perfekte firkanter (som). I sådanne tilfælde er det muligvis ikke muligt at komme med et nøjagtigt hele svar. I stedet for ved at bestemme de faktorer, der kan være perfekte firkanter, kan du beregne svaret ud fra en mindre, enklere og lettere at arbejde kvadratroden. Bare reducer antallet til kombinationen af ​​faktorer, der er perfekte firkanter med andre, der ikke er det. Derefter forenkler resultatet.
   • Antag at kvadratroden af ​​bruges som et eksempel. Dette tal er ikke et produkt af to perfekte firkanter, så det er ikke muligt at nå frem til et helt tal som i det foregående tilfælde. Det er dog produktet mellem en perfekt firkant og et andet tal - e. Disse data vil blive brugt til at fremme søgningen efter svaret i de enkleste termer som følger:

4. 

   
   
   Lav om nødvendigt skøn. Med kvadratroden i sine enkleste termer er det enklere at estimere et numerisk svar ved at angive værdien af ​​de resterende kvadratrødder og multiplicere de relevante værdier. En måde at guide dig selv gennem disse estimater er at finde de perfekte firkanter ved siden af ​​tallet i kvadratroden. Du ved, at decimalerne for dette tal vil være mellem disse to værdier, og det vil derfor være lettere at bestemme, hvad der findes mellem dem.
   • Når vi vender tilbage til eksemplet og er e, kan du se, at det er mellem e - og sandsynligvis tættere på det større tal. Ved estimering finder du det. Bare tjek operationen ved hjælp af en lommeregner, og du vil bemærke, at du er kommet meget tæt på det sande svar ().
     • Dette fungerer også i større antal. Det er for eksempel muligt at estimere, at det er mellem og (sandsynligvis tættere på det større antal). Hvis e og er mellem begge værdier, er det sandsynligt, at dens kvadratrod også er mellem og. Hvis du tager i betragtning, at det er et lille skridt væk, kan du med sikkerhed angive, at din kvadratrod er snart under værdien. Når du udfører beregningen på en lommeregner, når du frem til resultatet - antagelsen var korrekt.

5. 

   Først skal du reducere antallet til dit fælles flere minimum. Det er ikke nødvendigt at finde faktorer, der er perfekte firkanter, hvis du er i stand til at bestemme primtalsfaktorerne for et tal (det vil sige det er også primtal). Skriv den pågældende værdi baseret på det fælles multiplum minimum. Kig derefter efter par primtal, der matcher hinanden. Når du finder to muligheder, der opfylder disse krav, skal du tage dem ud af kvadratroden og placere dem -en af dem udenfor.
   • Prøv som et eksempel at finde kvadratroden af ​​med denne metode. Det er kendt det og det. På grund af dette er det muligt at skrive kvadratroden med hensyn til dens faktorer :. Bare tag de to tilstedeværende inde i roden og placer en af ​​dem på ydersiden for at nå frem til de enkleste vilkår :. Herfra er det let at estimere.
   • Som et sidste eksempel, prøv at beregne kvadratroden af:
     • 
       Her er der flere værdier inde i kvadratroden - da det er et primtal, skal du bare tage et af parene og placere en af ​​enhederne på ydersiden.
     • Som et resultat vil kvadratroden i sine enkleste termer være eller. Herfra kan du estimere værdierne for, og hvis du ønsker det.

Metode 2 af 2: Manuel beregning af firkantede rødder

1. 

   Først skal du adskille mellemrumene fra antallet parvis. Denne metode gør brug af en proces svarende til den lange opdeling for at beregne kvadratroden eksakt, et hus ad gangen. Selvom det ikke er afgørende, kan du finde ud af, at processen er lettere, når den er organiseret visuelt, og antallet er opdelt i dele. Den første ting at gøre er at tegne en lodret linje, der adskiller arbejdsområdet i to regioner, hvorefter der laves en mindre vandret linje øverst til højre for at have et lille afsnit øverst og et stort i bunden. Nu skal du adskille mellemrumene fra antallet i par, der begynder med kommaet: at følge denne regel bliver for eksempel. Skriv værdien øverst i det venstre mellemrum.
   • I et eksempel kan du prøve at beregne kvadratroden af. Lav to linjer for at opdele arbejdsområdet som i det foregående tilfælde, og skriv i den øverste del af venstre plads, og rolig, hvis der kun er et enkelt tal til venstre i stedet for et par. Du skal skrive svaret () øverst til højre.

2. 

   Find ud af, hvilket er det største heltal, hvis firkant er mindre end eller lig med antallet (eller par af tal) til venstre. Start med den venstre del af dit nummer, uanset om det er et par eller en isoleret værdi. Bestem, hvilken er den største perfekte firkant, der er mindre end eller lig med det tal, og tag dens kvadratrod: denne værdi er repræsenteret af. Skriv det ned i det øverste højre felt, og skriv dit kvadrat i det nederste højre kvadrant.
   • I eksemplet er tallet længst til venstre. Da det er kendt, er det muligt at fastslå det, da det er den største heltal, hvis kvadrat er mindre end eller lig med. Skriv i den øverste kvadrant - dette vil være den første firkant af resultatet. Skriv derefter (kvadrat af) i nederste højre kvadrant - denne værdi vil være vigtig for det næste trin.

3. 

   Trække fra det nyberegnede parnummer til venstre. Som i den lange opdeling er det næste trin at trække firkanten fundet fra den del, der netop er blevet undersøgt. Skriv denne værdi under den første del, og udfør den passende subtraktion, skriv svaret nedenfor.
   • I eksemplet placeres en under den for at udføre subtraktionen. Svaret her vil være lig med.

4. 

   Gå ned til det næste par. Flyt den næste del af undersøgelsesnummeret ned og ved siden af ​​den subtraherede værdi, du lige har fundet. Multiplicer derefter værdien øverst til højre med, og skriv svaret i nederste højre kvadrant. Nu skal du bare adskille et mellemrum til multiplikationsproblemet i næste trin :.
   • I eksemplet er det næste tilgængelige par. se bare på det nær den nederste venstre kvadrant. Multiplicer derefter værdien med, og få den, så at. Skriv i nederste højre hjørne efterfulgt af.

5. 

   Udfyld emnerne i den rigtige kvadrant. Hver af dem har nu det samme heltal. Det skal være det største, der gør det muligt for resultatet af multiplikationen til højre at være mindre end eller lig med det antal, der nu findes til venstre.
   • I eksemplet udfylder emnerne med resultatet :. Dette er en værdi større end. På den måde er det for stort, men det vil sandsynligvis gøre. Skriv tomme felter og fortsæt :. Det bekræftes, at det imødekommer behovet, for skriv derefter nummeret i øverste højre kvadrant.Dette er den anden firkant i kvadratroden af.

6. 

   Træk den beregnede værdi fra nummeret nu til venstre. Fortsæt med at trække i samme stil som den lange division. Tag resultatet af multiplikationsproblemet i højre kvadrant og træk det fra den værdi, der nu er på venstre side, og placer dit svar lige nedenfor.
   • I eksemplet trækkes det fra, hvilket resulterer i.

7. 

   Gentag trin 4. Rul ned til den næste del af nummeret, hvis kvadratrod beregnes. Når du når kommaet, skal du skrive en decimal i svaret i øverste højre kvadrant. Multiplicer derefter værdien øverst til højre med, og skriv operationen i hvid () som tidligere.
   • Da kommaet nås i eksemplet, skal du skrive det lige efter det aktuelle svar øverst til højre. Flyt derefter ned i det næste par () i venstre kvadrant. Ved at gange med værdien øverst til højre () får du - skriv i den nederste højre kvadrant.

8. 

   Gentag trin 5 og 6. Find den største decimalværdi, der er i stand til at udfylde de tomme felter til højre, der giver et resultat, der er mindre end eller lig med antallet i øjeblikket til venstre. Så bare gå videre til problemet.
   • I eksemplet ,, som er mindre end eller lig med tallet til venstre (). Når du observerer det, som er for højt, kommer du til den konklusion, at det er det svar, du leder efter. Skriv det som den næste decimal i den øverste højre kvadrant, og træk resultatet af multiplikation af tallet til venstre :.

9. 

   Fortsæt med at beregne decimaler. Slip et par nuller til venstre og gentag Trin 4, 5 og 6. For endnu større præcision skal du fortsætte med at gentage processen, indtil du finder hundrededele, tusindedele osv. I dit svar. Fortsæt bare i denne cyklus, indtil du når resultatet på den ønskede decimal.

Forståelse af processen

1. 

   Definer det nummer, hvis kvadratrode beregnes som et kvadratareal. Da dette område har en formel, hvor det repræsenterer længden på en af ​​siderne, når du prøver at finde kvadratroden af ​​dens værdi, prøver du at beregne længden af ​​det pågældende kvadrat.

2. 

   Angiv variablerne for hver decimal i dit svar. Indstil variablen til at være den første decimal af (kvadratroden beregnes), være den anden, være den tredje osv.

3. 

   Tildel alfabetiske variabler til hver del af startnummeret. Knyt variablen til det første par decimaler i (startværdi), det andet par decimaler og så videre.

4. 

   Forstå forbindelsen mellem denne metode og den lange opdeling. Denne måde at beregne kvadratroden på er grundlæggende et langdelingsproblem, der deler startnummeret med kvadratroden, giver dens kvadratrod som svar. Som med problemer med lang opdeling, hvor interessen er rettet mod en decimal ad gangen, skal du her fokusere på to ad gangen (som svarer til den næste kvadratrods decimal).

5. 

   Find det største tal, hvis firkant er mindre end eller lig med. Den første decimal i svaret repræsenterer det største heltal, hvis firkant ikke overstiger (så). I eksemplet, og, så at.
   • I et eksempel, hvis du ønskede at dele ved hjælp af metoden med lang opdeling, ville det første trin være ens: du skal kigge efter det første ciffer () og finde det største heltal, der, når det ganges med, ville resultere i noget mindre end lig med. Dybest set handler det om at finde den måde. I dette tilfælde ville det være lig med.

6. 

   Visualiser firkanten, hvis areal du vil beregne. Svaret, som er kvadratroden af ​​startnummeret, vil blive repræsenteret af, som beskriver længden af ​​et areal (startnummer). Værdierne for og repræsenterer de decimaler, der findes i. En anden måde at sætte denne definition på er at sige, at i tilfælde af et svar med to decimaler, i tilfælde af et svar med tre decimaler og så videre.
   • I eksemplet ,. Husk at det repræsenterer svaret med enhederne og tiere. Tager og som et eksempel, vil det resultere i antallet. Hvis det repræsenterer arealet af firkanten, repræsenterer det arealet med den største interne firkant, repræsenterer området for den mindste interne firkant og repræsenterer området for hver af de resterende rektangler. Når du udfører denne lange og komplicerede proces, vil du have hele det kvadratiske område ved hånden, bare tilføje de arealer, der beregnes ud fra firkanterne og rektanglerne indeni.

7. 

   Træk fra. Slip et par () decimaler. Udtrykket repræsenterer næsten hele pladsen, hvorfra den største interne firkant blev trukket. Resten kan til gengæld repræsenteres af den opnåede i Trin 4 (i eksemplet ovenfor). Her (areal af begge rektangler plus arealet for den mindste firkant).

8. 

   Se efter, også skrevet som. I eksemplet kender du allerede () og (), og det er nu nødvendigt at beregne værdien af. Det vil sandsynligvis ikke være en heltalsværdi, så du skal virkelig beregne den største helhedsmulighed, der opfylder betingelsen. Endelig vil du være tilbage med.

9. 

   Løs operationen. For at fortsætte skal du gange med, ændre positionen for tiere (svarende til at multiplicere værdien med), placere den i positionen for enhederne og gange resultatet med. Med andre ord skal du bare udføre operationen. Det er det samme som når man skriver (er) i den nederste højre kvadrant til stede i Trin 4. Allerede i Trin 5til gengæld finder du den største heltalsværdi, der passer til det tomme rum, der opfylder betingelsen.

10. 

    Træk området fra det samlede areal. Dette resulterer i det hidtil ignorerede område (og som vil blive brugt til at beregne de næste firkanter på en lignende måde).

11. 

    For at beregne den næste decimal skal du blot gentage processen. Rul ned til det næste par () for at komme til venstre og se efter den højeste værdi, der opfylder betingelsen (svarende til at skrive to gange værdien med to decimaler ledsaget af. Søg efter den højest mulige decimalværdi i tomme felter der bringer et resultat mindre end eller lig som før.

Tips

• Denne metode fungerer med enhver base - ikke kun (decimal) base.
• I eksemplet kan en "hvile" overvejes:
  
• En alternativ metode, der bruger kontinuerlige fraktioner, følger denne formel:
  
  I et eksempel, for at beregne kvadratroden af, er det heltal, hvis kvadrat mest matcher startnummeret, således at, e. Når du indtaster værdierne i formlen og afrunder estimatet, bringer det allerede resultatet (minimumsværdier) eller ca. (). Den næste periode vil være, eller ca. (). Hvert yderligere udtryk tilføjer næsten tre decimaler af præcision i forhold til det tidligere forsøg.

Advarsler

• Husk at adskille decimalerne parvis fra kommaet. En adskillelse af hvordan f.eks. Giver ubrugelige resultater.