Forfatter:
Carl Weaver
Oprettelsesdato:
26 Februar 2021
Opdateringsdato:
9 Kan 2024
Indhold
Fuldførelse af firkanten repræsenterer en meget nyttig teknik, der giver dig mulighed for at omarrangere en kvadratisk ligning på en lettere måde at visualisere eller løse. Det er muligt at færdiggøre firkanten for at omarrangere en mere kompliceret kvadratisk ligning eller endda løse den. Hvis du vil lære at gøre det, skal du følge nedenstående trin.
Trin
Metode 1 af 2: Transformering af en ligning fra standard til toppunktform
Skriv formlen. Lad os sige, at du arbejder med følgende ligning: 3x - 4x + 5.
Faktor koefficienten for den høje sigt fra de to første termer. For at faktorere en 3 ud af de første to termer skal du bare trække tallet ud og placere det ved at multiplicere parenteser, der indeholder begge tal, og dividere hver enkelt med 3. 3x divideret med 3 vil være lig med x og 4x divideret med 3 vil være som 4x / 3. På denne måde vil den nye ligning se ud som: 3 (x - 4 / 3x) + 5. Nummeret 5 forbliver uden for ligningen, fordi det ikke blev delt med 3.
Del den anden periode i to og firkant den. Den anden periode, også kendt som B af ligningen, er lig med 4/3. Find din halvdel ved at dividere den med 2. 4/3 ÷ 2 eller 4/3 × 1/2, hvilket vil resultere i 2/3. Find nu firkanten af dette udtryk ved at hæve tælleren og nævneren for brøkdelen til den anden magt. (2/3) = 4/9. Skriv det udtryk.
Tilføj og træk dette udtryk fra ligningen. Du får brug for dette "ekstra" udtryk for at gøre de første tre termer i ligningen til et perfekt kvadrat. Du skal dog huske, at du har tilføjet det ved at trække formlen. Selvom det naturligvis ikke vil være særlig nyttigt bare at kombinere vilkårene, da du vender tilbage til udgangspunktet. Den nye ligning vil se sådan ud: 3 (x - 4 / 3x + 4/9 - 4/9) + 5.
Uddrag udtrykket trukket fra parenteserne. Da du arbejder med en koefficient på 3 uden for parenteserne, kan du ikke bare fjerne -4/9. Du skal først gange det med 3. -4/9 × 3 = -12/9 eller -4/3. Hvis du ikke arbejder med en ligning, der indeholder en anden koefficient end 1 over ordet x, kan du springe dette trin over.
Konverter termerne i parentes til en perfekt firkant. Du har nu 3 (x - 4 / 3x + 4/9) inden for parenteserne. Du fik 9/9, hvilket kun var en anden måde at finde udtrykket, der ville fuldføre pladsen. Således kan du omskrive disse vilkår som følger: 3 (x - 2/3). Alt du skulle gøre er at skære det andet valgperiode i halve og fjerne det tredje. Du kan kontrollere resultatet ved at gange det og bemærke, at det resulterer i de første tre termer af ligningen.
- 3 (x - 2/3) =
- 3 (x - 2/3) (x - 2/3) =
- 3 =
- 3 (x - 4 / 3x + 4/9)
Kombiner de konstante termer. Nu er der to konstante udtryk tilbage, som ikke er knyttet til nogen variabel.Så du har 3 (x - 2/3) - 4/3 + 5. Alt du skal gøre er at tilføje -4/3 og 5 for at få 11/3. Du kan gøre dette ved at placere dem med samme nævneren: -4/3 og 15/3, tilføje tællerne for at få 11 og holde nævneren som 3.
- -4/3 + 15/3 = 11/3
Skriv ligningen som et toppunkt. Parat! Den endelige ligning er 3 (x - 2/3) + 11/3. Du kan fjerne koefficienten 3 ved at dele begge dele af ligningen for at opnå (x - 2/3) + 11/9. Nu skrev du toppunktligningen, eller a (x - h) 2 + k, Hvor k repræsenterer det konstante udtryk.
Metode 2 af 2: Løsning af en kvadratisk ligning
Skriv problemet ned. Lad os sige, at du arbejder med følgende ligning: 3x + 4x + 5 = 6
Kombiner de konstante udtryk og placer dem på venstre side af ligningen. De konstante udtryk er alle dem, der ikke er knyttet til nogen variabel. I dette tilfælde har du en 5 til venstre og en 6 til højre. Du skal føre 6 til venstre for at trække denne værdi fra begge sider af ligningen. Som et resultat vil du have 0 til højre (6 - 6) og -1 til venstre (5 - 6). Nu skal ligningen skrives som: 3x + 4x - 1 = 0.
Faktor koefficienten for udtrykket kvadrat. I dette tilfælde er 3 koefficienten for udtrykket x. For at faktor 3 skal du bare trække dette tal ud, sætte de resterende udtryk i parentes og dele hver enkelt med 3. Således er 3x ÷ 3 = x, 4x ÷ 3 = 4 / 3x og 1 ÷ 3 = 1/3. Nu skal ligningen skrives som: 3 (x + 4 / 3x - 1/3) = 0.
Opdel den konstante, du lige har beregnet. Det betyder, at det er muligt permanent at slippe af med de 3, der er uden for parentesen. Da du delte hvert udtryk med 3, kan det fjernes uden indblanding i ligningen. Du får nu x + 4 / 3x - 1/3 = 0.
Del den anden periode i to og firkant den. Dernæst skal du tage den anden periode, 4/3, også vist som en term Bog find din halvdel. 4/3 ÷ 2 eller 4/3 × 1/2 er lig med 4/6 eller 2/3. Alligevel er 2/3 i anden række lig med 4/9. Når du er færdig, bliver du nødt til at skrive det på venstre side og højre for ligningen, da det grundlæggende tilføjer et nyt udtryk. For at holde det afbalanceret skal du have det på begge sider af ligningen. Nu ser det ud som x + 4 / 3x + 2/3 - 1/3 = 2/3.
Flyt det oprindelige konstante udtryk til højre side af ligningen, og tilføj det til udtrykket på den side. Overfør den oprindelige konstante betegnelse, -1/3, til højre som 1/3. Føj det til udtrykket der, 4/9 eller 2/3. Find en fællesnævner, der kombinerer 1/3 og 4/9, og gang både tæller og nævner 1/3 med 3. 1/3 × 3/3 = 3/9. Tilføj nu 3/9 og 4/9 for at få 7/9 på højre side af ligningen. Som et resultat har du: x + 4 / 3x + 2/3 = 4/9 + 1/3 og derefter x + 4 / 3x + 2/3 = 7/9.
Skriv venstre side af ligningen i form af en perfekt firkant. Da du allerede har brugt en formel til at finde ud af, hvad det manglende udtryk er, er den hårde del færdig. Nu er det kun tilbage at placere x og halvdelen af den anden koefficient i parentes og kvadratere dem som følger: (x + 2/3). Bemærk, at faktorering af den perfekte firkant giver dig tre udtryk: x + 4 / 3x + 4/9. Nu vil ligningen se ud som: (x + 2/3) = 7/9.
Tag kvadratroden fra begge sider. På venstre side af ligningen er kvadratroden af (x + 2/3) simpelthen x + 2/3. På højre side har du +/- (√7) / 3. Kvadratroten på nævneren, 9, er en nøjagtig 3, og kvadratroden på 7 vil være √7. Husk at skrive +/-, da kvadratroden kan være positiv eller negativ.
Isoler variablen. For at isolere variablen x, send det konstante udtryk 2/3 til højre for ligningen. Du får nu to mulige svar til x: ± (√7) / 3 - 2/3. Det er de eneste to muligheder. Du kan lade ligningen være som den er, eller endda finde kvadratroden på 7, hvis du vil have et svar uden rodtegnet.
Tips
- Husk at placere ± på det rette sted, ellers får du kun et svar.
- Selv efter at have kendt den kvadratiske formel, skal du vænne dig til at udfylde pladsen lejlighedsvis, prøve den kvadratiske formel eller løse øvelser for at øve. På den måde glemmer du ikke, hvordan du gør det, når det er nødvendigt.
