Indhold

• Trin
• Tips

Et rationelt udtryk består af en brøkdel, der indeholder en eller flere variabler i tælleren eller nævneren. En ligning rationel er enhver ligning, der involverer mindst et rationelt udtryk. Som i normale algebraiske ligninger løses rationelle ligninger ved at udføre de samme operationer på begge sider, indtil variablen er blevet isoleret på den ene side af ligetegnet. Især to teknikker, krydsmultiplikation og den mindst fælles divisor, er yderst nyttige til isolering af variabler og løsning af rationelle ligninger.

Trin

Metode 1 af 2: Kryssmultiplikation

1. 

   Omarranger om nødvendigt ligningen, så den har en brøkdel på hver side af ligetegnet. Krydsmultiplikation er en hurtig og nem metode til løsning af rationelle ligninger. Desværre fungerer denne metode kun på rationelle ligninger, der indeholder nøjagtigt et rationelt udtryk eller en brøkdel på hver side af ligetegnet. Hvis ligningen ikke er i det format, der er egnet til krydsmultiplikation, kan det være nødvendigt at udføre nogle algebraiske operationer for at flytte termerne til de relevante steder.
   • For eksempel kan ligningen (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 let omarrangeres i et krydsmultiplikationsformat og tilføje x / (- 2) til begge sider af ligningen, hvilket vil resultere ved ( x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Husk, at decimaler og heltal kan placeres som en brøkdel ved at give dem en nævner på 1. (x + 3) / 4 - 2.5 = 5, for eksempel kan den skrives som (x + 3) / 4 = 7.5 / 1, hvilket gør den gyldig til krydsmultiplikation.
   • Nogle rationelle ligninger kan ikke let reduceres til et format med kun en brøkdel eller et rationelt udtryk på hver side af ligetegnet. I sådanne tilfælde skal du bruge den mindst almindelige divisormetode.

2. 

   
   
   Kryds multiplicer. Denne metode indebærer kun at multiplicere tælleren af ​​en brøkdel med nævneren for den anden og omvendt. Multiplicer tælleren af ​​brøkdelen til venstre for ligetegnet med nævneren for brøkdelen til højre. Gentag proceduren med fraktionstælleren til højre og nævneren for brøkdelen til venstre.
   • Krydsmultiplikation fungerer i henhold til grundlæggende algebra-principper. Rationelle udtryk og andre fraktioner kan omdannes til ikke-fraktioner ved at multiplicere dem med deres nævnere. Krydsmultiplikation er dybest set en genvej til at multiplicere begge sider af ligningen med deres respektive nævnere. Svært at tro? Tag testen - du får de samme resultater efter forenkling.

3. 

   
   
   Match de to produkter. Efter krydsmultiplikation har du to resulterende produkter. Lige begge ud og forenkle udtrykket for at have hver side af ligningen i enklere termer.
   • For eksempel, hvis det oprindelige rationelle udtryk var (x + 3) / 4 = x / (- 2), efter krydsmultiplikationen, vil den nye ligning være lig med -2 ​​(x + 3) = 4x. Hvis det ønskes, kan det også skrives som -2x - 6 = 4x.

4. 

   
   
   Løs til variablen. Brug algebraiske operationer til at løse problemet for variablen i ligningen. Husk, at hvis x vises på begge sider af lighedstegnet, bliver du nødt til at tilføje eller trække x-termer på begge for at få x-termer på kun en af ​​dem.
   • I vores eksempel kan vi dele begge sider af ligningen med (-2), hvilket resulterer i x + 3 = -2x. At trække x fra begge sider giver os 3 = -3x. Endelig dividerer vi begge sider med -3, har vi -1 = x, som vi kan omskrive som x = -1. Vi finder værdien af ​​x ved at løse vores rationelle ligning.

Metode 2 af 2: Find den mindste fælles skiller (LCD)

1. 

   Ved, hvornår det er passende at bruge den mindste fælles skillevæg. Den mindste fælles divisor (LCD) kan bruges til at forenkle en rationel ligning, hvilket gør det muligt at løse eksisterende variabler. At finde LCD-skærmen er en god idé, når den rationelle ligning ikke let kan skrives med en (og kun en) brøk eller et rationelt udtryk på hver side af ligetegnet. For at løse rationelle ligninger med to eller flere udtryk kan LCD'en være et meget nyttigt værktøj. For at løse rationelle ligninger med kun to udtryk kan kryds-multiplikation imidlertid være hurtigere.

2. 

   Undersøg nævneren for hver fraktion. Identificer det mindste tal, som hver nævner kan deles med. Det bliver ligningens LCD.
   • Nogle gange er den laveste fællesnævner - det vil sige det mindste antal, der har hver af de eksisterende nævnere som en faktor - ret åbenlyst. For eksempel, hvis udtrykket er x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, skal der ikke meget til at indse, at det mindste tal, der indeholder 3, 2 og 6 som faktor, faktisk er 6.
   • Alligevel er LCD-skærmen i en rationel ligning ofte ikke umiddelbart åbenbar. I sådanne tilfælde skal du prøve at undersøge multipla af den højeste nævneren, indtil du finder den, der indeholder alle de laveste nævnere som en faktor. I mange tilfælde er LCD'et et multiplum af to nævnere. For eksempel i ligningen x / 8 + 2/6 = (x-3) / 9 er GCD lig med 8 × 9 = 72.
   • Hvis en eller flere af fraktionernes nævnere indeholder en variabel, bliver processen mere kompliceret, men ikke umulig. I sådanne tilfælde vil LCD'et være et udtryk (indeholdende variabler) hvormed alle nævnere kan deles i stedet for et enkelt tal. For eksempel, i ligning 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), er LCD'et lig med 3x (x-1), da hver nævner divideres lige med dette udtryk - divider det med (x -1) resulterer i 3x, dividerer det med 3x resulterer i (x-1) og divideres med x resulterer i 3 (x-1).

3. 

   Multiplicer hver brøkdel i den rationelle ligning med en. Multiplikation af hvert udtryk med 1 kan virke ubrugeligt. Der er dog et trick. Nummeret 1 kan defineres som et hvilket som helst tal divideret med sig selv - 2/2 og 3/3 er for eksempel også gyldige måder at skrive "1" på. Denne metode udnytter denne alternative definition. Multiplicer hver brøkdel i den rationelle ligning med 1, skriv tallet 1, så det multiplicerbare tal eller udtryk med nævneren resulterer i LCD'et på sig selv.
   • I vores grundlæggende eksempel multiplicerer vi x / 3 med 2/2 for at få 2x / 6 og gang 1/2 med 3/3 for at få 3/6. 3x + 1/6 har allerede en 6, det vil sige LCD, som nævneren. Så vi kan gange det med 1/1 eller lade det være som det er.
   • I vores eksempel med variabler i nævnerne af vores fraktioner er processen lidt mere kompliceret. Da GCD er lig med 3x (x-1), multiplicerer vi hvert rationelt udtryk med det udtryk, hvormed det multipliceres, hvilket resulterer i 3x (x-1) over sig selv. Således multiplicerer vi 5 / (x-1) med (3x) / (3x) for at opnå 5 (3x) / (3x) (x-1), vi multiplicerer 1 / x med 3 (x-1) / 3 (x -1) for at opnå (3 (x-1) / 3x (x-1) og gang 2 / (3x) med (x-1) / (x-1) for at opnå 2 (x-1) / 3x (x -1).

4. 

   Forenkle og løse x. Nu hvor alle termer i den rationelle ligning har den samme nævner, kan du fjerne nævnerne fra ligningen og løse tællerne. Multiplicer blot begge sider af ligningen for at få de isolerede tællere. Brug derefter algebraiske operationer til at få x (eller en hvilken som helst anden variabel, som du vil løse) isoleret på den ene side af ligetegnet.
   • I vores grundlæggende eksempel får vi efter multiplicering af hvert udtryk med alternerende former for 1 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. To fraktioner kan tilføjes sammen, hvis de har den samme nævner, så vi kan forenkle denne ligning som (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 uden at ændre dens værdi. Multiplicer begge sider med 6 for at annullere nævnerne, hvilket efterlader os med 2x + 3 = 3x + 1. Træk 1 fra begge sider for at få 2x + 2 = 3x og træk 2x fra begge sider for at få 2 = x, hvilket kan skrives som x = 2.
   • I vores eksempel med variabler i nævnerne er vores ligning efter multiplikation af hvert udtryk med “1” lig med 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Multiplikation af hvert udtryk med MDC giver os mulighed for at annullere nævnerne, hvilket resulterer i 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Dette fungerer også på 15x = 3x - 3 + 2x - 2, som kan forenkles til 15x = x - 5. At trække x fra begge sider resulterer i 14x = -5, hvilket i sidste ende bliver forenklet til x = -5 / 14.

Tips

• Når du har løst den pågældende variabel, skal du kontrollere svaret ved at indtaste værdien i den oprindelige ligning. Hvis du opnåede det korrekte resultat, vil det være muligt at forenkle den oprindelige ligning til en enkel og gyldig sætning, såsom 1 = 1.
• Bemærk, at du kan skrive ethvert polynom som et rationelt udtryk; bare placer den over nævneren "1". På denne måde vil x + 3 og (x + 3) / 1 begge have den samme værdi, men det andet betragtes som et rationelt udtryk, da det er skrevet som en brøkdel.