Indhold

• Steps
• Tips

For dem, der har vanskeligheder med matematik, kan det at se symbolet på en firkantet rod forårsage kuldegysninger. Problemer med denne operatør er imidlertid ikke så vanskelige som de ser ud. Undertiden kan enkle firkantede rodproblemer være lige så lette som en simpel multiplikation eller opdeling. På den anden side kan mere komplicerede problemer være mere arbejde. Stadig med den rigtige tilgang vil de alle se lette ud. Begynd at øve problemer med firkantede rod nu, og lær denne nye matematikfærdighed radikal!

Steps

Del 1 af 3: Forstå begrebet kvadratiske og firkantede rødder

1. 

   Før du forstår kvadratrødder, skal du først forstå, hvad kvadratet for et tal er. Det er let at forstå. For at kvadrere et tal skal du bare multiplicere det med sig selv. For eksempel er 3 kvadrater det samme som 3 × 3 = 9, og 9 kvadrat er det samme som 9 × 9 = 81. Firkanterne er betegnet med en lille "2" på øverste højre side af antallet, der skal hæves, sådan: 3, 9, 100 og så videre.
   • For at øve konceptet skal du forsøge at kvadrere et par flere tal. Husk, at kvadrering af et tal simpelthen multiplicerer det med sig selv. Du kan gøre dette selv med negative tal, men husk, at i dette tilfælde svaret altid vil være positivt. For eksempel -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   For at finde kvadratroten skal du finde den "inverse" af potentieringen. Rotsymbolet (√, også kaldet "radikalt") betyder dybest set det "modsatte" af symbolet. Når du ser en radikal, skal du spørge dig selv, "Hvilket tal kan jeg formere sig med sig selv, så resultatet er antallet inden for radikalet?" For eksempel, når du ser √ (9), så prøv at finde det antal, der er kvadratisk, svarende til 9. I dette tilfælde vil svaret være trefordi 3 = 9.
   • Et andet eksempel: lad os finde kvadratroten af ​​25 (√ (25)). Dette betyder, at vi er nødt til at finde det antal, der kvadratisk er lig med 25. Da 5 = 5 × 5 = 25, kan vi sige, at √ (25) = 5.
   • Du kan også tænke på denne operation som en måde at "fortryde" en firkantet højde. Hvis vi f.eks. Er nødt til at finde √ (64), kvadratroden på 64, skal vi tænke på 64 som 8. Da kvadratroden dybest set "annullerer" en højde i kvadratet, kan vi sige, at √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Forstå forskellen mellem perfekte firkantede tal og ufuldkomne firkantede tal. Indtil videre har svarene på vores firkantede rodproblemer været hele tal. Det vil ikke altid ske. Faktisk kan resultatet af en strålingsoperation undertiden resultere i lange, komplicerede decimaler. Hvis roden til et tal er et heltal, det vil sige, hvis det ikke er en brøkdel eller decimal, kaldes det perfekt firkant. Alle eksemplerne vist ovenfor (9, 25 og 64) er perfekte firkanter, fordi deres rødder er heltal (henholdsvis 3, 5 og 8).
   • På den anden side kaldes tal, hvis rødder ikke er hele ufuldkomne firkanter. Når vi beregner roden til et af disse tal, får vi et resultat, der normalt vil være en brøkdel eller en decimal. Nogle gange kan de involverede decimaler være ret komplicerede, som i eksemplet: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Husk mindst de første 12 perfekte firkanter. Som vi har vist, kan det være meget let at beregne kvadratroten af ​​et tal! Så det er vigtigt at tage sig tid til at huske kvadratrødderne på de første dusin perfekte firkanter. De har en tendens til at vises meget ved test, så at huske dem kan spare dig for meget tid. De første 12 perfekte firkanter er:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Når det er muligt, forenkle rødderne ved at fjerne de perfekte firkanter. At finde kvadratroten af ​​ufuldkomne firkanter kan være meget vanskeligt, især hvis der ikke er nogen lommeregner til rådighed (i afsnittene nedenfor lærer du tricks til at forenkle processen). Det er dog undertiden muligt at forenkle tallene inde i roden for at gøre beregninger lettere. Opdel blot antallet inden i roden i faktorer, beregn derefter roden til de faktorer, der er perfekte firkanter, og skriv svaret uden for radikalet. Dette er lettere, end det ser ud. Se nedenfor for at forstå bedre!
   • Lad os sige, at du er nødt til at finde roden til 900. I første omgang ser det ud til at være en ganske vanskelig opgave! Alt er meget lettere, hvis vi opdeler 900 i faktorer. Faktorerne for et tal “x” er et sæt tal, der, hvis de multipliceres, resulterer i “x”. For eksempel kan vi få 6 ved at multiplicere 1 × 6 og 2 × 3, så faktorerne 6 er 1, 2, 3 og 6.
   • I stedet for at arbejde med 900, hvilket kan være lidt mærkeligt, lad os i stedet skrive det som 9 × 100. Nu, da 9, som er en perfekt firkant, er adskilt fra 100, kan vi beregne dens kvadratrod. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Det vil sige √ (900) = 3√(100).
   • Vi kan stadig forenkle yderligere to gange ved at opdele 100 i faktorer 25 og 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Så vi kan sige, at √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Brug imaginære tal til at beregne roden til negative tal. Spørg dig selv, hvilket antal ganget med sig selv resulterer i -16? Det er ikke 4 eller -4, fordi kvadratet med disse to tal er 16. Skal vi give op? Der er faktisk ingen måde at skrive kvadratroden på -16 eller noget andet negativt tal ved kun at bruge reelle tal. I sådanne tilfælde skal vi bruge imaginære tal (normalt i form af bogstaver eller symboler) til at erstatte kvadratroten af ​​et negativt tal. Variablen "i" bruges for eksempel til at betegne kvadratroten -1. Som en generel regel vil roden til et negativt tal altid være (eller i det mindste omfatte) et imaginært tal.
   • Husk, at selvom imaginære tal ikke kan repræsenteres med reelle tal, kan de stadig behandles som sådanne på nogle måder. For eksempel resulterer roden til et negativt tal "-x", hvis det er kvadratisk, også "-x", ligesom enhver anden rod. Det vil sige i = -1

Del 2 af 3: Brug af lange opdelingslignende metoder

1. 

   Behandl kvadratrotproblemet som om det var en lang opdeling. På trods af at du er en smule besværlig, kan du finde kvadratroten af ​​komplicerede ufuldkomne kvadratnummer uden at bruge en lommeregner. Metoden (eller algoritmen) ligner (men ikke den samme) som den i langdivisionen. Den lange opdeling er den traditionelle metode, der bruges til at beregne opdelinger i hånden.
   • Start med den oprindelige placering af problemet, der vil svare til den lange opdeling. Lad os for eksempel sige, at du er nødt til at finde roden til 6.45, som bestemt ikke er et perfekt firkant. Først skriver vi et firkantet rodsymbol (√) og derefter lægger vi vores nummer inde i det. Derefter skal vi lave en linje fra symbolet √ indtil det dækker hele tallet og efterlade det inde i en kasse, der ligner den, hvor den lange divisionsdelere er. Forskellen er, at her vil svaret være over det felt, ikke nedenfor, som i den traditionelle opdeling. Når vi er færdige, vil vi have et langstrakt "√" -skilt, der dækker hele antallet af 6.45.
   • Lad os skrive numre på dette felt, så lad plads være.

2. 

   Gruppér cifrene i par. For at begynde at løse problemet skal du gruppere cifrene i antallet inde i stilken parvis, startende med decimalpunktet. Du kan lave små markeringer (som perioder, søjler, kommaer osv.) Mellem par for at adskille dem.
   • I vores eksempel bør vi dele 6.45 i tre par på denne måde: 6-,45-00. Se, at der er et mindre ciffer på venstre side, der er ikke noget problem med det.

3. 

   Find det største antal, hvis kvadrat er mindre end eller lig med værdien af ​​den første "gruppe". Start med det første par numre på venstre side. Vælg det største antal, hvis firkant er mindre end eller lig med "gruppen". Hvis gruppen for eksempel var 37, skal du vælge 6, fordi 6 = 36 <37 men 7 = 49> 37. Skriv dette tal over den første gruppe. Dette er det første ciffer i svaret.
   • I vores eksempel er den første gruppe i 6-, 45-00 6. Det første største antal, hvis firkant er mindre end eller lig med 6 er 2, fordi 2 = 4. Skriv "2" over de 6, der er inde i radikalen.

4. 

   Se på det første ciffer i svaret (det nummer, vi lige har fundet), og gang det med to. Skriv nu resultatet under den første gruppe og udfør en subtraktion for at finde forskellen. Rul derefter ned ad det næste par numre og tilføj dem til den forskel, vi lige har fundet. Til sidst skal du skrive det sidste ciffer dobbelt så hurtigt som det første ciffer i svaret på venstre side og efterlade et mellemrum ved siden af.
   • I vores eksempel ville det første trin være at finde dobbeltværdien af ​​2, som er det første ciffer i svaret. 2 × 2 = 4. Derefter skal vi trække 4 fra 6 (vores første "gruppe") og få 2 som svar. Nu er vi nødt til at gå ned til den næste gruppe (45) for at få 245. Endelig skriver vi 4 igen til venstre og efterlader et lille tomt rum på højre side som denne: 4_.

5. 

   Udfyld det blanke. Nu skal vi placere et ciffer i stedet for det tomme felt ved siden af ​​det nummer, vi skriver til venstre. Vælg det ciffer, der multipliceres med tallet til venstre med det tomme rum, der er erstattet af sig selv, har en maksimal værdi, men mindre end tallet på højre side. Dette kan virke lidt kompliceret, så lad os se nogle eksempler til at forstå. Hvis antallet, der gik ned, det vil sige det på højre side, er 1700 og tallet til højre er 40_, ville vi udfylde det tomme med nummeret 4, fordi 404 × 4 = 1616 <1700 og 405 × 5 = 2025 Det nummer, der findes i dette trin, er svarets andet ciffer, så du kan tilføje det over stammesymbolet.
   • I vores eksempel er vi nødt til at finde det nummer, der skal udfyldes det tomme felt i 4_ × _, der gør svaret så stort som muligt, men mindre end eller lig med 245. I vores tilfælde er svaret 5fordi 45 × 5 = 225 og 46 × 6 = 276.

6. 

   Fortsæt med at bruge de tal, der udfylder emnene for at komponere svaret. Fortsæt denne ændrede langdelingsmetode, indtil du begynder at få nuller ved at trække det antal, der stiger ned fra radikalet, eller indtil du når det ønskede præcisionsniveau. Når de er færdige, udgør de numre, der er brugt til at udfylde emnerne i hvert trin (og naturligvis det første tal, vi bruger) svarcifrene.
   • Fortsætter vi vores eksempel, ville vi trække 225 fra 245 for at få 20. Derefter vil vi gå ned i parret cifre 00 for at få 2000. Ved at fordoble tallene over radikalet har vi 25 × 2 = 50. Ved at indstille det blanke nummer til 50_ × _ = / <2.000, vi får 3. På dette tidspunkt har vi "253" om det radikale. Gentag processen igen, og vi får en 9 som det næste ciffer.

7. 

   Placer kommaet i den rigtige position i svaret. For at afslutte svaret er vi stadig nødt til at placere decimalpunktet på det rigtige sted. Denne del er let: bare sæt kommaet i svaret i samme position som kommaet i tallet inde i radikalen. For eksempel, hvis antallet inde i radikalet er 49,8, skal du bare placere kommaet i svaret på det sted, der svarer til det nedenfor, dvs. mellem de to tal over 9 og 8.
   • I vores eksempel er antallet inden for radikalet 6.45. For at få svaret skal du blot placere kommaet mellem de tal, der er over 6 og 4, som i dette tilfælde er henholdsvis 2 og 5, for at få svaret: 2,539.

Del 3 af 3: hurtigt estimerer ufuldkomne firkanter

1. 

   Find svaret gennem et skøn. Når du først kender roden til nogle perfekte firkanter, vil det være meget lettere at finde roden til ufuldkomne firkanter. I et tidligere trin anbefaler vi at huske mindst de første tolv perfekte firkanter og deres rødder. Den gode nyhed er, at vi kan bruge estimatet til at få en tilnærmelse af roden til en ufuldkommen firkant, der er mellem to perfekte firkanter, som vi kender. Til det er vi nødt til at finde den første perfekte firkant større end det ønskede antal og det sidste mindre, så antallet af spørgsmål er mellem de to. Derefter skal vi prøve at finde ud af, hvilke af disse to perfekte firkanter roden til det ønskede antal kommer tættest på.
   • Antag f.eks., At vi er nødt til at finde kvadratroden på 40. Da vi husker vores perfekte firkanter, kan vi sige, at 40 er mellem 6 og 7, det vil sige mellem 36 og 49. Da 40 er større end 6, vil dens kvadratrod være større end 6. Ligeledes, da den er mindre end 7, vil dens rod være mindre end 7. 40 er lidt tættere på 36 end 49, så vores svar vil sandsynligvis være tættere på 6. I de næste trin , øger vi nøjagtigheden af ​​vores estimat.

2. 

   Forøg præcisionen til en decimal. Når du har fundet de to på hinanden følgende perfekte firkanter, der danner et interval, der indeholder dit nummer, skal du bare prøve at øge nøjagtigheden af ​​estimatet til et punkt, som du synes er tilfredsstillende. Jo flere forsøg på at forbedre estimatet, jo større er nøjagtigheden. For at begynde skal du estimere værdien af ​​det første decimal. Dette estimat behøver ikke at være korrekt, men at bruge logik til at vælge en værdi, der sandsynligvis vil være tættest på svaret, vil lette processen.
   • I vores eksempel kunne et acceptabelt estimat for kvadratroden på 40 være 6,4, fordi vi allerede ved, at svaret sandsynligvis er lidt nærmere 6 end 7.

3. 

   Multiplicer estimatet med sig selv. Medmindre du er meget heldig, bliver resultatet ikke startnummeret (40 i vores eksempel). Du skal justere estimatet for at komme nærmere det rigtige svar.Hvis resultatet er over startnummeret (det vil sige over 40), kan du prøve et lavere skøn. Ligeledes, hvis resultatet er under det ønskede antal, skal du øge estimatet.
   • Multipliser 6.4 med sig selv for at få 6.4 × 6.4 = 40,96, hvilket er lidt højere end vores oprindelige nummer.
   • Da vores estimat var lige over den korrekte værdi, så lad os sænke det med en tiendedel for at få 6,3 × 6,3 = 39,69. Nu var resultatet lidt mindre end vores oprindelige nummer. Dette betyder, at roden til 40 er et vist antal mellem 6,3 og 6,4. Da 39,69 er tættere på 40 end 40,96, ved vi, at roden vil være tættere på 6,3, ikke 6,4.

4. 

   Fortsæt med at forbedre estimatet om nødvendigt. Hvis du på dette tidspunkt er tilfreds med svaret, skal du bruge en af ​​de første tilnærmelser som et estimat. Men hvis du har brug for et mere præcist svar, skal du bare prøve at estimere anden decimal, vælge en værdi mellem de to foregående (det vil sige mellem 6,3 og 6,4). Ved hjælp af denne metode kan vi estimere tre decimaler, fire, fem osv. Afhængigt af den nøjagtighed, der kræves til svaret.
   • I vores eksempel kan vi vælge 6.33 for at foretage vores estimat til to decimaler. Multiplicer 6.33 med sig selv for at opnå 6.33 × 6.33 = 40.0689. Da dette resultat var lidt over vores oprindelige antal, kan vi vælge en lidt lavere værdi, såsom 6,32. I dette tilfælde 6.32 × 6.32 = 39.9424, et resultat lidt under startnummeret. Derfor kan vi konkludere, at den nøjagtige rod på 40 er mellem 6.32 og 6.33. Om nødvendigt kunne vi fortsætte med denne metode for at få stadig mere nøjagtige tilnærmelser til roden til det ønskede antal.

Tips

• Hvis du har brug for en hurtig løsning, skal du bruge en lommeregner. De fleste moderne regnemaskiner kan med det samme beregne firkantede rødder. Generelt skal du bare indtaste et hvilket som helst tal og trykke på knappen med firkantet rodsymbol. For at finde roden til 841, skal du bare trykke på 8, 4, 1 og derefter (√) for at få svaret: 39.